Généralisations aux matrices carrées de taille n x n

On peut généraliser la notion de déterminant à des matrices carrées de taille  \(n\times n\) plus grande que \(2\times2\) , et on retrouve la même propriété de condition nécessaire et suffisante d’un inverse.

Définition

Le déterminant d’une matrice carrée de taille  \(n\times n, A=(a_{ij})\) est un nombre réel qui ne dépend que des coefficients \(a_{ij}\) . Il est défini de manière unique et se note généralement entre deux barres de la façon suivante :
\(\det(A) = \det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}\)
Remarque

C’est une notation déjà vue en seconde pour les déterminants de deux vecteurs du plan, et les déterminants de systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues. Il s’agit en réalité de la même notion.

Calcul par récurrence du déterminant d’une matrice carrée de taille  \(n\times n\) avec  \(n\ge3\)
Soit une matrice carrée de taille  \(n\times n, A=(a_{ij})\) ,
\(\det(A)=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\ a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}-a_{21} \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\ a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}+\cdots +(-1)^{n+1}\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\ a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{n-1,2} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1,n}\\ \end{vmatrix}\)

Remarque

Tous les déterminants utilisés pour le calcul sont des déterminants de matrices carrées de taille \((n-1) \times (n-1)\) .
Chaque terme de la somme est constitué du produit de  \((-1)^{k+1}a_{k1}\)  par le déterminant de la matrice où l’on a barré la première colonne et la \(k\) -ième ligne.
Cette opération s’appelle « développer le déterminant par rapport à la première colonne ».
Comme on sait calculer le déterminant d’une matrice de taille \(2 \times 2\) , on sait donc calculer par récurrence le déterminant de toute matrice carrée.

Exemple
\(A=\begin{pmatrix} 2&3&4\\1&5&0\\3&1&2 \end{pmatrix}\)

\(\det(A)=\begin{vmatrix} 2 & 3 & 4\\ 1 & 5 & 0\\ 3 &1 &2 \end{vmatrix}= 2 \times\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} -1 \times \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} +3 \times \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 0 \end{vmatrix}\)

\(\det(A)=2 \times (5\times2-0\times1)-1\times (3\times2-4\times1)+3\times (3\times0-4\times5)=-42\)

Remarque

On peut aussi calculer le déterminant « en le développant par rapport à la première ligne ».
Il est important de bien barrer la ligne et la colonne qui correspondent au coefficient qu’on a « sorti » et d’alterner les signes  \(+\) et \(-\) . Ainsi avec l’exemple précédent, on a aussi :
\(\det(A)=\begin{vmatrix} 2 & 3 & 4\\ 1 & 5 & 0\\ 3 &1 &2 \end{vmatrix}= 2 \times\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} -3 \times \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} +4 \times \begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 &1 \end{vmatrix}\)
\(\det(A)=2 \times (5\times2-0\times1)-3\times (1\times2-0\times3)+4\times (1\times1-5\times3)=-42\)

Propriété

Le déterminant d’une matrice carrée  \(A\) est égal au déterminant de sa transposée \(A^T\)
`\det(A)=\det(A^T)` .

Propriété   Condition nécessaire et suffisante d’inversibilité d’une matrice carrée de taille \(\boldsymbol{n \times n}\)

Soit  \(A\) une matrice carrée de taille  \(n,A\) est inversible si, et seulement si, \(\det(A)\ne0\) .

Remarque

Des deux propriétés précédentes, on déduit qu’une matrice est inversible si et seulement si sa transposée est inversible. La plupart du temps, pour une matrice carrée de taille  \(n\) plus grande que  \(2\) , on utilisera la calculatrice pour calculer le déterminant, et l’inverse s’il existe.